慰謝料を払わなくてはならないのか、また養育費を請求できるのか。

　慰謝料の支払義務はある一方で認知を経れば養育費請求が可能です

　相談者様がその彼が妻子持ちであることを認識されていて関係を持ったのであれば、その彼の奥様から慰謝料請求されてた場合には支払義務があることになります。ただし，理論上は，その彼の奥様に対して支払った金員のうちの半額はその彼に対して支払え，ということができますで（これを「求償」といいます。），この点を主張して減額交渉することも可能でしょう。
　他方，養育費請求についてですが，認知がなされないとその彼の子ということにはならないので，現時点ではできないということになるでしょう。
　ただし，彼に認知してもらうか，認知請求をして強制認知すれば，彼の子ということになるので，養育費を請求できることになります。
　養育費は子どもが満２０歳に達する日の属する月まで請求できるというのが一般的ですので，トータルでみると慰謝料よりは圧倒的に高額になるので，慰謝料請求をおそれて養育費請求をしないというのは得策でないように思います。

奥さんからは慰謝料の請求されますが、認知請求をして養育費の請求ができます。

別れた上、シングルマザーということなので、相手方が離婚に至っていない以上、慰謝料が認められる額は５０万円から１００万円までではないかと思います。
これに対して、あなたさんは、認知請求をして養育費の請求ということになるのですが、相手の収入等にもよりますが、２～３万円程度は請求できるものと思います。認知をしなければ、調停をして請求を求めていくことになり、ＤＮＡ鑑定なども証拠として提出することになると思います。
ただし、このような相手であれば、誠意も全くないであろうから、時間がかかると思います。