付き合っている人の離婚歴を調べることはできますか?

調べることはできます。

相手の離婚歴を調べる方法はあります。
慰謝料請求などする場合、裁判所に提出する必要がありますので、
そのために請求することが可能です。

離婚が成立していない場合、
相手の奥さんに慰謝料請求される可能性はありますが、
ご自身が、結婚を考えている男性に慰謝料請求をすることも可能です。

回答

職務上請求から戸籍謄本等を申請する場合は相続とか裁判に必要とか職務に必要な場合に限られています。個人のプライバシーを調べるために戸籍謄本等をとることは許されませんし、それを興信所や金融機関に回せば懲戒事由にもなります。慰謝料は知っててした場合で知らないでした場合は慰謝料請求をされることはないと思います。